Runs in Bernoulli-Ketten

Abstract

Es seien $X$ und $Y$ die Längen des ersten bzw. zweiten Runs in einer Bernoulli-Kette mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$. Dabei ist ein Run als Sequenz maximaler Lange gleicher aufeinander folgender Symbole (1 oder 0) definiert. Wir geben die Verteilungen von $X$ und $Y$ sowie die gemeinsame Verteilung von $X$ und $Y$ an und berichten von typischen Schwierigkeiten, die Lehramtsstudierende insbesondere bei der Herleitung der Verteilung von Y haben. Interessanterweise gilt $\mathbb{E}(Y)=2$, unabhängig von der Trefferwahrscheinlichkeit $p$. Die gemeinsame Verteilung der Längen des ersten, zweiten, dritten, … Runs besitzt eine Symmetrieeigenschaft, die zu weiteren Einsichten führt. So ist etwa die Länge jedes Runs mit ungerader (bzw. gerader) Nummer verteilt wie $X$ (bzw. $Y$ ).